गणित का दर्शनशास्त्र

गणित चारों ओर है! सूरज और धरती के बीच की दूरी में गणित है, आपके कंप्यूटर अथवा मोबाइल फ़ोन में गणित है, मोनालिसा के चित्र में गणित है, प्राचीन मंदिरों में गणित का प्रयोग किया गया है। अर्थात गणित भी हवा की भांति, हर दिशा और कोने-कोने में व्याप्त है। यही कारण है की गणित का अध्ययन यानी गणित का दर्शन (philosophy of mathematics) सबसे रुचिकर और जरूरी विषयों में से एक है।
गणित का दर्शन, दर्शनशास्त्र की एक शाखा मानी जाती है, जिसके अंतर्गत गणित की मान्यताओं (assumptions), आधारों (foundations), एवं परिणामों (implications) का अध्ययन किया जाता है। गणित दर्शन का उद्देश्य गणित की विधियों एवं गणित की प्रकृति को समझना, तथा यह जानना है, की लोगों के जीवन में गणित का क्या स्थान है? गणित की तार्किक एवं संरचनात्मक प्रकृति इस अध्ययन को अन्य दर्शनों की तुलना में अधिक विस्तृत एवं अनन्य बना देती है। गणित की उत्पत्ति तर्कों और असहमति के अधीन है। गणित की प्रकृति के विषय में अनेक विचारकों ने अपने विचार प्रस्तुत किए हैं। आज, गणित के कुछ दार्शनिकों का लक्ष्य इस प्रकार की जांच और इसके उत्पादों का लेखा-जोखा देना है, जबकि अन्य स्वयं के लिए एक भूमिका पर जोर देते हैं। पश्चिमी दर्शन और पूर्वी दर्शन दोनों में गणितीय दर्शन की अपनी-अपनी परंपराएं हैं। गणित के पश्चिमी दर्शन पाइथागोरस (Pythagoras) के रूप में माने जाते हैं। गणित पर यूनानी दर्शन उनके ज्यामिति के अध्ययन से काफी प्रभावित था। उदाहरण के लिए, एक समय यूनानियों का मत था कि 1 (एक) एक संख्या नहीं है, बल्कि मनमानी लंबाई की एक इकाई है। संख्याओं के बारे में ये पहले के यूनानी विचार बाद में दो के वर्गमूल की अपरिमेयता की खोज द्वारा बनाए गए थे। पाइथागोरस के एक शिष्य हिप्पासस (Hippasus) ने दिखाया कि एक इकाई वर्ग का विकर्ण इसके (इकाई-लंबाई) किनारे के साथ अतुलनीय था। आसान शब्दों में समझें तो, उन्होंने साबित किया कि ऐसी कोई मौजूदा (तर्कसंगत) संख्या नहीं थी, जो इकाई के विकर्ण के अनुपात को सटीक रूप से दर्शाती हो। किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के साथी इस खोज से इतने आहत हुए कि उन्होंने हिप्पस को उसके विधर्मी विचार को फैलाने से रोकने के लिए उसकी हत्या कर दी। गणित का दर्शन, दर्शनशास्त्र की शाखा, जो दो प्रमुख प्रश्नों पहला एक सामान्य गणितीय वाक्यों के अर्थ से संबंधित है और दूसरा इस मुद्दे से संबंधित है कि क्या अमूर्त वस्तुएं मौजूद हैं? पहला व्याख्या का सीधा सवाल है: मानक गणितीय वाक्यों और सिद्धांतों की व्याख्या करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? दूसरे शब्दों में, "3 अभाज्य है," "2 + 2 = 4," और "असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं" जैसे सामान्य गणितीय वाक्यों का वास्तव में क्या अर्थ है। इस प्रकार, गणित के दर्शन का एक केंद्रीय मकसद गणित की भाषा के लिए एक अर्थ सिद्धांत का निर्माण करना है, या साधारण शब्दों में समझें तो, यह जानना है की कुछ विशेष भावों का क्या अर्थ है? उदाहरण के लिए, यह दावा कि अंग्रेजी में मंगल शब्द मिसिसिपी (Mississippi) नदी को दर्शाता है, एक झूठा शब्दार्थ सिद्धांत है। और यह दावा कि अंग्रेजी में मंगल सूर्य से चौथे ग्रह को दर्शाता है, एक सच्चा अर्थ सिद्धांत है। अतः गणित के दार्शनिक गणित की भाषा के लिए एक अर्थ सिद्धांत प्रदान करना चाहते हैं। गणित का दर्शन एक प्रकार का अध्ययन है, जो यह जानने का प्रयास करता है कि, गणित वास्तव में क्या है? गणित के दार्शनिक खुद से सवाल पूछते हैं जैसे:
क्या गणित वास्तव में समझ में आता है?
क्या संख्याएँ वास्तव में मौजूद हैं, या वे सिर्फ बनी हैं?
क्या गणित सब कुछ समझा सकता है?
लोग गणित क्यों करते हैं?
कुछ लोग गणित को "सुंदर" क्यों मानते हैं?
क्या गणित वास्तव में सच है, या सिर्फ कुछ ऐसा है जो हमें लगता है कि यह सच है? इनमें से किसी भी प्रश्न का स्पष्ट उत्तर नहीं है, इसलिए गणितज्ञ यह चुनने के लिए स्वतंत्र हैं कि उन्हें कौन सा उत्तर पसंद है। उदाहरण के लिए:
प्लेटोनिज्म (Platonism): प्लेटोनिज़्म में विश्वास करने वाले गणितज्ञ सोचते हैं कि, संख्याएँ वास्तविक हैं, ठीक चट्टानों और पेड़ों की तरह। हम उन्हें नहीं देख सकते हैं, लेकिन हम उन्हें प्रतीकों के साथ प्रस्तुत कर सकते हैं, और दुनिया का अध्ययन करने के लिए उनका उपयोग कर सकते हैं।
काल्पनिकता (Fictionalism): कल्पनावाद में विश्वास रखने वाले गणितज्ञ सोचते हैं कि गणित अभी बना है। गणित में संख्याएं, आकार और अन्य चीजें ऐसे तरीके हैं जिनका उपयोग हम विज्ञान को संभव बनाने के लिए करते हैं, लेकिन वे वास्तव में मौजूद नहीं हैं।
तर्कवाद (rationalism): तर्कशास्त्र में विश्वास करने वाले गणितज्ञ मानते हैं कि गणित सत्य है क्योंकि यह सच्चे वाक्यों पर आधारित है (जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संख्याएँ और आकार मौजूद हैं या नहीं, बस वे सच्ची चीज़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संदर्भ
https://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/
https://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics
https://www.britannica.com/science/philosophy-of-mathematics

चित्र संदर्भ
1. गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन् को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
2. राफेल, पाइथागोरस (Raphael, Pythagoras), राफेल, एथेंस के स्कूल, फ्रेस्को (depicting Raphael, School of Athens, fresco) को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
3. गणितज्ञ बर्ट्रेंड रसेल (Bertrand Russell) को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)