रामपुर के नागरिकों, इस चर्चा में हम गणित के एक ख़ास हिस्से के बारे में बात करेंगे, जिसे हम बीजगणित (Algebra) कहते हैं। बीजगणित गणित की एक शाख़ा है, जो प्रतीकों और उनके नियमों से जुड़ी है। इसका उपयोग हमारी रोज़मर्रा की ज़िंदगी में, जैसे बजट बनाना, पैसे की योजना बनाना, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में होता है।
आज हम, बीजगणित के आविष्कार और इसकी प्राचीन सभ्यताओं से जुड़ाव पर चर्चा करेंगे। "बीजगणित" शब्द अरबी "अल-जाबिर" से निकला है, जिसका अर्थ "टूटे हुए हिस्सों को जोड़ना" है, जो समीकरण हल करने में मदद करता है। अंत में, हम भारतीय गणितज्ञों के बीजगणित में महत्वपूर्ण योगदानों के बारे में बात करेंगे, जो इस गणित की शाख़ा को और भी ज्यादा ख़ास बनाते हैं।
बीजगणित का आविष्कार किसने किया?
बीजगणित का आविष्कार अलग-अलग समय पर और अलग-अलग स्थानों पर हुआ था और इन खोजों और नए विचारों ने मिलकर आज जो हम बीजगणित के रूप में जानते हैं, उसे बनाया।
बीजगणित का विकास: बीजगणित के मूलभूत विचारों की खोज अलग-अलग सभ्यताओं में हुई थी, जिनमें प्राचीन बेबीलोनिया और मिस्र के लोग शामिल हैं, जिन्होंने बीजगणित का उपयोग किया था, जिसका प्रमाण 1900 से 1600 ईसा पूर्व के बीच के समय में मिलता है। प्लिंपटन 322 नामक टेबलेट में पायथागोरियन त्रिकोण और अन्य गणितीय रूप दिखाए गए हैं।
बाबिलवासी बीजगणित और मिस्र का बीजगणित शायद एक साथ विकसित हुआ, लेकिन बाबिलवासी बीजगणित काफी अधिक उन्नत था। उन्होंने घन और द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया था, जबकि मिस्रवासी केवल रैखिक समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करते थे, जो कि बहुत सरल होते थे । बाबिलवासी के पास लचीले संचालन भी थे, जो मिस्रवासियों के पास नहीं थे। वे कारक निकालने और सकारात्मक मूल का उपयोग करने जैसी चीज़ें समझते थे।
ग्रीक गणित (हेलिनिस्टिक काल)
यह गलतफ़हमी है, कि प्राचीन ग्रीक के पास बीजगणित नहीं था। वास्तव में, उनके पास बीजगणित था। वे ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करते थे। क्षेत्रफ़ल का अनुप्रयोग इसमें शामिल है, जिसे यूक्लिड ने अपनी पुस्तक Elements में बताया था। ग्रीक इस प्रकार के बीजगणित का उपयोग रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए करते थे और यूक्लिड को ज्यामिति का पिता माना जाता है। बेसिक समीकरणों को ज्यामिति के माध्यम से हल किया जाता था और यह ग्रीक द्वारा बीजगणित में लाए गए प्रमुख विकासों में से एक है।

अरबी गणितज्ञों का प्रभाव: मध्य पूर्व में कई गणितज्ञों द्वारा ऐसे विकास हुए थे, जिनको आज हम बीजगणित में देखते हैं और उसका उपयोग करते हैं। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी सबसे प्रसिद्ध अरबी गणितज्ञ हैं, जिन्हें बीजगणित का पिता माना जाता है। 'एल्गोरिदम' शब्द उनके नाम से लिया गया है। उनकी किताब, The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि बताती है और तत्वों को एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ कैसे स्थानांतरित किया जाए, इस पर भी चर्चा करती है। यह विधि आज भी सभी बीजगणित के छात्रों द्वारा उपयोग की जाती है।
16वीं और 17वीं सदी में बीजगणित में विकास - 16वीं सदी में, यूरोप में बीजगणित में कुछ विकास हुए थे। सबसे पहले, माइकल स्टिफेल ने अंकगणित और बीजगणित पर एक व्यापक अध्ययन लिखा था। यह जर्मन भाषा में लिखी गई पहली बीजगणित की पुस्तक थी। जोहान्स विडमैन ने भी 16वीं सदी में बीजगणित और इसके उपयोगों पर महत्वपूर्ण व्याख्यान दिए। ये दोनों व्यक्ति इस विशेष काल में यूरोप में बीजगणित को प्रमुखता देने में प्रभावशाली थे। फ्रैंकोइस विएट के नए बीजगणित पर काम भी बहुत महत्वपूर्ण साबित हुआ।
17वीं सदी में, अज्ञात चर का प्रतिनिधित्व करने के लिए 'x' का उपयोग शुरू हुआ। अब गणित के अधिकांश इतिहासकार मानते हैं , कि यह विशेष विकास रेने डेसकार्टेस के जिम्मे था। ऐसा माना जाता है, कि यह पहली बार 1637 में प्रकाशित उनके ग्रंथ La Géométrie में इस्तेमाल किया गया था। यह एक प्रतीक है, जो आज भी गणितज्ञों और छात्रों द्वारा उपयोग किया जाता है। डिकार्ट ने शुरुआत में कई अक्षरों का उपयोग किया और अंततः 'x' को सबसे सामान्य चर नाम के रूप में चुना।
अल-जबर: बीजगणित का नाम कैसे पड़ा?
मुस्लिम फ़ारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी बगदाद में "हाउस ऑफ़ वाइजडम" (बैत अल-हिक्मा) के सदस्य थे, जिसे अल-मामून ने स्थापित किया था। अल-ख्वारिज़्मी की मृत्यु लगभग 850 ईस्वी में हुई और उन्होंने आधा दर्जन से अधिक गणितीय और खगोलीय किताबें लिखीं, जिनमें से कुछ भारतीय सिंधिंद पर आधारित थीं। उनकी सबसे प्रसिद्ध किताब का नाम “अल-जबर वल मुक़ाबला” है, जिसे “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing” भी कहा जाता है। इस किताब में द्विघात समीकरणों को हल करने के बारे में जानकारी दी गई है।
इस किताब ने "कमी" और "संतुलन" के दो महत्वपूर्ण सिद्धांतों को पेश किया। ये सिद्धांत यह बताते हैं, कि जब हम समीकरणों को हल करते हैं, तो हम घटाए गए अंशों को समीकरण के दूसरी तरफ़ ले जाते हैं। यही प्रक्रिया अल-ख्वारिज़्मी ने "अल-जबर" के रूप में वर्णित की।
Al-Jabr में कुल छह अध्याय हैं, और हर अध्याय एक अलग प्रकार के समीकरण के बारे में है:
- पहले अध्याय में उन समीकरणों पर चर्चा है, जिनका वर्ग उनके मूल के बराबर होता है (ax² = bx)।
- दूसरे अध्याय में वर्ग, जो किसी संख्या के बराबर होते हैं (ax² = c)।
- तीसरे अध्याय में मूल, जो किसी संख्या के बराबर होते हैं (bx = c)।
- चौथे अध्याय में वर्ग और मूल, जो किसी संख्या के बराबर होते हैं (ax² + bx = c)।
- पाँचवे अध्याय में वर्ग और संख्याएँ, जो मूल के बराबर होती हैं (ax² + c = bx)।
- छठे अध्याय में मूल और संख्याएँ, जो वर्ग के बराबर होती हैं (bx + c = ax²)।
इस किताब में अल-ख्वारिज़्मी ने ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग किया और समीकरणों को हल करने के लिए "क्षेत्रों का अनुप्रयोग" नामक प्रक्रिया का वर्णन किया। उन्होंने विभेदक (discriminant) की सकारात्मकता और वर्ग पूरा करने की विधि का वर्णन किया।
यह किताब द्विघात समीकरणों और अन्य समस्याओं को हल करने के नियमों का संग्रह है और इसे आधुनिक बीजगणित की नींव माना जाता है। "बीजगणित" शब्द इस किताब में वर्णित समीकरणों के साथ एक मूल क्रिया (अल-जबर) से लिया गया है। पश्चिमी दुनिया में इसे रोबर्ट ऑफ़ चेस्टर के लैटिन अनुवाद “Liber algebrae et almucabola” के माध्यम से प्रस्तुत किया गया, जिससे "बीजगणित" नाम पड़ा।
भारत के महान गणितज्ञों द्वारा बीजगणित में योगदान
भारतीय गणितज्ञों ने निश्चित और अनिर्धारित रैखिक द्विघात समीकरणों, मापन, और पायथागोरस त्रिभुजों पर लगातार काम किया।
1. आर्यभट्ट
उन्होंने अपनी किताब आर्यभटीय में निम्नलिखित नियम दिए:
12+22+..............+n2=n(n+1)(2n+1)613+23+..............+n3=(1+2+........+n)2

2. ब्रह्मगुप्त
ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्म स्पृष्ट सिद्धांत लिखा, जिसमें उन्होंने सकारात्मक और नकारात्मक मूल के लिए सामान्य द्विघात समीकरणों के हल दिए। उन्होंने अनिर्धारित विश्लेषण का उपयोग करके पायथागोरस त्रिद्वियों के हल दिए, जैसे:
½(m2/n − n), ½(m2/n+n)
वह पहले व्यक्ति थे, जिन्होंने डायोफैंटाइन समीकरण (Diophantine equation) ax+by=cax + by = cax+by=c का हल दिया
ब्रह्मगुप्त ने संकुचित बीजगणित का पालन किया, जिसमें जोड़, घटाव और भाग को इस तरह दिखाया गया –
- जोड़: संख्याओं को एक साथ रखना
- घटाव: घटाने वाली संख्या के ऊपर बिंदु रखना
- 3. भास्कर II
- वह 12वीं सदी के प्रमुख भारतीय गणितज्ञों में से एक हैं।
- उन्होंने “लीलावती” और “विज गणित” नामक किताबें लिखीं, जहां उन्होंने निश्चित और अनिर्धारित समीकरणों, रैखिक और द्विघात समीकरणों, और पायथागोरस त्रिभुजों के हल दिए।
- उन्होंने पेल के समीकरण का हल भी दिया।
- उन्होंने अज्ञात चर के लिए रंगों के प्रारंभिक प्रतीकों का उपयोग किया।
- भास्कर अनिर्धारित विश्लेषण का उपयोग करके हल देने में सबसे अच्छे थे।

संदर्भ
https://tinyurl.com/yc87bcbt
https://tinyurl.com/4p94rsct
https://tinyurl.com/4sawtxfd

चित्र संदर्भ
1. अल-ख्वारिज़्मी और बीजगणित को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)
2. रिंद गणितीय पेपिरस (Rhind Mathematical Papyrus) को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)
3. खलीली इस्लामिक कला संग्रह (Khalili Collection of Islamic Art) के एक आरेख को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)
4. अल-ख्वारिज़्मी को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)
5. अल-ख्वारिज़्मी के हिसाब अल जब्र वल मुक़ाबला के एक पृष्ठ को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)
6. ब्रह्मगुप्त को संदर्भित करता एक चित्रण (wikimedia)