ब्रह्मांड से भी बड़ी है ग्राह्म संख्या

बचपन से ही जब हम संख्याओं को सीखना शुरू करते हैं तो हमारे मन में हमेशा यह प्रश्न होता है कि आखिर सबसे बड़ी संख्या कौन सी है। इसका उत्तर हमें अक्सर अनंत (Infinite) के रूप में ही प्राप्त होता है। किंतु वास्तव में यह सटीक उत्तर नहीं है। वास्तव में अनंत एक विचार है जिसका अर्थ है कभी न खत्म होने वाला, अर्थात ऐसी चीज़ जो कभी खत्म नहीं हो सकती। इस प्रश्न का उत्तर जानने के लिये हमें अपने प्रश्न को बदलने की आवश्यकता है। अर्थात हमारा प्रश्न यह होना चाहिए कि ऐसी कौन सी सबसे बड़ी संख्या है जिसे हम जानते हैं? तो इसका उत्तर है ग्राह्म संख्या (Graham's number)।

यह एक विशाल संख्या है जिसका नाम गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राहम के नाम पर रखा गया है। यह संख्यां 1980 में गिनीज़ बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड (Guinness Book of World Records) में दर्ज हुई जो गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या है। हमारा ब्रह्मांड बहुत बड़ा है किंतु इससे भी बड़ी किसी चीज़ की अगर कल्पना की जाये तो वह ग्राह्म संख्या ही है। यह संख्या ब्रह्मांड की आयु से बड़ी है जिसे वर्षों में (लगभग 14 बिलियन वर्ष) या सेकंड (4.343x1017 सेकंड) में मापा जा सकता है। ग्राह्म संख्या ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या जिसे 1078 और 1082 के बीच माना जाता है, से भी बड़ी है। यह संख्या प्रसिद्ध गूगोल (googol) 10100 से भी बड़ी है जिसे 1929 में अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड कैसनर द्वारा परिभाषित किया गया था। गूगोलप्लेक्स (googolplex) जिसे के रूप में लिखा जाता है, गूगोल से बड़ी है किंतु आपको यह जानकर हैरानी होगी कि ग्राह्म संख्या गूगोलप्लेक्स (googolplex) से भी बड़ी है और आप इसे लिखते-लिखते थक जायेंगे तब भी यह संख्या पूरी नहीं हो पायेगी। कोई भी व्यक्ति या कंप्यूटर (Computer) इसे पूर्ण रूप से लिख पाने में सक्षम नहीं है। यह संख्या इतनी बड़ी है कि ब्रह्माण्ड में इतना सामान मौजूद नहीं है जिस पर इसके अंको को लिखा जा सके। लेकिन यह संख्या परिमित है जो एक पूर्ण संख्या भी है। वास्तव में हमारे लिये यह कल्पना करना बहुत ही कठिन है कि ग्राह्म संख्या कितनी विशाल या बड़ी है।

यह संख्या तब अस्तित्व में आयी जब 4 से अधिक आयामों के घनक्षेत्र निर्माण के प्रश्न को गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राह्म द्वारा हल किया गया। बुनियादी गणित ज्ञान वाला कोई भी व्यक्ति ग्राह्म संख्या की गणना करने की कोशिश कर सकता है और इसके परिमाण को समझ सकता है।

ग्राह्म संख्या नुथ के अप-ऐरो नोटेशन (Knuth's up-arrow notation) पर आधारित है। इस तरीके (Notation) का इस्तेमाल गणित की बड़ी से बड़ी संख्या को लिखने के लिए किया जाता है।

हम बार-बार जोड़ने की बजाय गुणा की प्रक्रिया को सोच सकते हैं:
3 x 3 = 3+3+3
और घातांकों को गुणा में बार-बार दोहराने के रूप में देख सकते हैं:
33 = 3 x 3 x 3
यदि हम सिंगल-एरो ऑपरेशन (Single-arrow operation) ↑ द्वारा इसे हल करें तो,
3↑3 = 33 = 3 x 3 x 3 = 27

इस प्रकार डबल-एरो ऑपरेशन (double-arrow operation) ↑↑ के माध्यम से इसे निम्न प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
3↑↑3 = 3↑3↑3 = = 327 = 7,625,597,484,987

इसी प्रकार पहले की प्रक्रियाओं को दोहराकर हम नये समीकरणों का निर्माण करते चले जायेंगे।
अगले चरण में ट्रिपल-एरो (triple-arrow) का प्रयोग किया जायेगा।
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)= 3↑↑7,625,597,484,987
इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, अतः हम एक सीधे से नियम से इसे लिख सकते हैं:

अगर आप ग्राह्म संख्या का हर अंक एक प्लेन्क स्केल (Planck Scale) पर लिखें तब भी पूरा ब्रह्मांड इसके सामने बहुत ही छोटा है। मतलब कि ग्राह्म संख्या इतनी बड़ी है कि पूरा ब्रह्मांड इसके सामने एक बिंदु से भी तुच्छ है।