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लॉटरी (Lottery) में जीतने की संभावना का अनुमान लगाने की गणितीय विधि

जौनपुर

 01-04-2021 10:06 AM
विचार 2 दर्शनशास्त्र, गणित व दवा
दुर्योधन की पलक झपकते ही अपार संपत्ति का राजा बनने की लालसा महाभारत के युद्ध का प्रमुख कारण बनी। जिसकी शुरूआत एक जुए से हुयी, जुआ एक ऐसा खेल है जो पल भर में राजा को रंक और रंक को राजा बना देता है। भारत में जुए की परंपरा वैदिक काल से भी पहले की है, इस युग के दौरान, जुआरी कीमती वस्तुओं जैसे घर, जमीन, दास या कीमती धातुओं को दाव पर लगाते थे। जिन लोगों को भी इसमें जीतने की उम्‍मीद होती थी, वे सभी इसमें हिस्‍सा लेते थे। लोभ के कारण वे बड़ी-बड़ी चीजें जुए में लगा देते थे, इसमें हारने के बाद उनकी आर्थिक स्थिति दयनीय हो जाती थी। समय के साथ इसके स्‍वरूप में परिवर्तन हुआ है, जो पारंपरिक से ऑनलाइन (Online) तक आ गया है।
इसका एक वर्तमान स्‍वरूप लॉटरी है, इसमें आमतौर पर दो या दो से अधिक व्‍यक्ति शामिल होते हैं। ये सभी इसमें अपने अपने पैसे लगाते हैं और जो भी विजेता होता है संपूर्ण पैसे उसे मिल जाते हैं। लॉटरी एक नशे की लत की तरह है, प्रारंभ में लॉटरी सेवाओं की पेशकश करने वालों में कई निजी कंपनियों का अस्तित्व था। लॉटरी देने वाली कंपनी कुछ संख्‍या तैयार करती है, जिसका इस नंबर का टिकट लगता है उसे निर्धारित धनराशि दी जाती है। यह कुछ देशों में गैरकानूनी है और कुछ पर प्रतिबंध भी लगाया गया है, लेकिन इसे चलाने वाले अन्य लोगों ने भी राष्ट्रीय या राज्य लॉटरी का आयोजन किया है, जहां हिस्‍सेदारी अधिक होती हैं। भारत में सभी लॉटरी राज्य सरकारों द्वारा चलाई जाती हैं, किंतु केवल 13 भारतीय राज्यों ने ही इसे अनुमति दी है। जिसमें केरल, गोवा, महाराष्ट्र, मध्य प्रदेश, पंजाब, पश्चिम बंगाल, असम, अरुणाचल प्रदेश, मेघालय, मणिपुर, सिक्किम, नागालैंड और मिज़ोरम शामिल हैं।

भारत में लॉटरी के अन्य रूपों को ब्रिटेन (Britain) द्वारा लाया गया। वे जानवरों और पक्षियों (घोड़े, कुत्‍ते और मुर्गे आदि) की प्रतियोगिता करवाते थे, जहाँ इनकी लड़ाई या फिर दौड़ कराई जाती थी। लोग इन जानवरों पर पैसे लगाते थे जो जानवर जीतता था उसे हिस्‍सेदारी में पैसा मिलता था। वर्ष 1967 में, केरल सरकार ने सभी निजी लॉटरी पर प्रतिबंध लगा दिया और एक राष्ट्रीय लॉटरी बनाई। इस लॉटरी में सभी वयस्‍क भाग ले सकते थे। लोगों को इस खेल की लत से बचाने के लिए राज्‍य सर‍कार द्वारा कुछ दायरे भी बनाए गए। अन्य भारतीय सरकारों ने इस विचार को अपनाना शुरू कर दिया और आज, वे राष्ट्रीय लॉटरी प्रतियोगिताओं का आयोजन करती हैं। इस खेल के सम्मान के रूप में, राष्ट्रीय लॉटरी दिवस की स्थापना की गई और 17 जुलाई को इसे मनाने के दिन के रूप में चिह्नित किया गया।
राष्ट्रीय लॉटरी दिवस की शुरूआत मैसाचुसेट्स स्टेट लॉटरी (Massachusetts State Lottery) द्वारा 2018 में की गई थी, जिसका उद्देश्य उपभोक्ताओं के मध्‍य इसका विशेष प्रचार करना था। इस दिन लोग सामान्‍यत: बाहर जाते हैं, कुछ शोक से तो कुछ अपनी किस्‍मत आजमाने के लिए टिकट खरीदते हैं। मैसाचुसेट्स स्टेट लॉटरी 27 सितंबर, 1971 को स्थापित की गई थी, इस दिन इसका पहला टिकट बेचा गया था। यह राष्ट्रमंडल को सहायता देने वाला प्रमुख स्‍त्रोत है। विश्‍वभर की सरकार के लिए लॉटरी टैक्‍स बढ़ाए बिना अपनी आए को बढ़़ाने का मुख्‍य स्‍त्रोत है। यह मध्‍यकाल में सामाजिक कार्य और सुरक्षा खर्चे हेतु पैसा जुटाने का एक अच्‍छा साधन थी।
आज भारत में लॉटरी टिकट खरीदने के लिए लॉटरी स्थलों में जाने की आवश्‍यकता नहीं है यह आप घर बैठे ही कर सकते हैं। आधुनिक लॉटरी डिजिटल (digital) हो गई है, और लोगों की भागीदारी भी काफी बढ़ गयी है। एक प्रतिभागी को केवल प्रवेश के लिए भुगतान करना होता और ऑनलाइन (Online) प्रतिस्पर्धा करनी होती है। ऑनलाइन बहुत सारे खेल उपलब्ध हैं, और लोग उन्हें ज्यादा पसंद कर रहे हैं।

यदि आपने कई बार लॉटरी टिकट ली है तो आप इसकी अगली टिकट को गणितीय दृष्टिकोण से खरीद सकते हैं जो आपके जीतने की संभावना को कई गुना बढ़ा सकती है। गणितीय दृष्टिकोण के माध्‍यम से आप संभावित अंकों का अनुमान लगा सकते हैं। आपको केवल प्रत्येक परिणाम की संभावना को पूरा करने की आवश्यकता है, फिर इससे प्राप्‍त परिणामों को अपनी अंतिम लागत के साथ गुणा करके आप संभावित नंबर का अनुमान लगा सकते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि किसी लॉटरी में 10 मिलियन डॉलर का जैकपॉट (Jackpot) है, आपके पास चार मिलियन में से जीतने का एक अवसर है, तो एक टिकट का अपेक्षित मूल्य $2।50 होगा। यदि उस टिकट को खरीदने में $2 का खर्च आता है, तो इसमें लाभ कमाने की संभावना बहुत कम हो जाती है। ज्यादातर लॉटरी में, एक मौका यह भी है कि आप लोअर-टियर (lower-tier) पुरस्कार भी ले सकते हैं - जो कि अपेक्षित मूल्य को और भी अधिक बढ़ा सकता है।
सफल होने पर अपेक्षित शुद्ध लाभ / शुद्ध लाभ
उपरोक्त लॉटरी उदाहरण में, अपेक्षित शुद्ध लाभ $ 0।50 ($ 2।50 शून्य से $2 लागत टिकट) है। और सफल होने पर शुद्ध लाभ $ 10 मिलियन डॉलर होगा। तो केली मानदंड के अनुसार, सर्वोत्‍तम निवेश के रूप में आपको कुल धन का एक अंश 1/20,000,000 दांव पर लगाना है। जैसा कि न्यूनतम संभव निवेश $2 का टिकट है, इससे पता चलता है कि एक एकल लॉटरी टिकट एक सार्थक निवेश नहीं है, जब तक कि आपके पास पहले से ही $ 40 का बैंकरोल (bankroll) न हो।

एक अरबपति को कितने टिकट खरीदने चाहिए? आरेख उन टिकटों की संख्या को दर्शाता है जो केली मानदंड के अनुसार खरीदे जाने चाहिए, यदि आपके पास $1 बिलियन बैंकरोल है। यूएस पावरबॉल के लिए दिए गए परिणाम, और लॉटरी जिसमें $ 2 टिकट की कीमत मानकर आपको 49 डॉलर या 59 बॉल से 6 नंबरों का मिलान करना होगा।
अब तक हमने केवल एक टिकट और एक ही जैकपॉट के ऊपर बात की यह गणना अन्य पुरस्कार टियर (Tier) और अन्य टिकटों को अनदेखा करती है जो आपने खरीदे होंगे। यदि लॉटरी में "रोल-डाउन" (Roll Down) सप्ताह है तो यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण छुट हो सकती है। यह तब होता है जब पुरस्कार राशि एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाती है, और निचले पुरस्कार के स्तरों पर फिर से वितरित हो जाती है। एक निश्चित पुरस्कार लेने की संभावना को अधिकतम करने के लिए आपको अपने टिकट कैसे लेने चाहिए?
मान लें आप 2 नंबर से मेल करना चाहते हैं जो सामान्‍यत: लॉटरी में सबसे कम पुरस्कार देने वाला होता है। इसे प्राप्त करने के लिए आपको न्यूनतम कितनी संख्या में टिकट खरीदने चाहिए? कोम्‍बीनेच्‍योरियालिस्‍ट (Combinatorialists) टिकट के ऐसे सेट को "लोट्टो डिज़ाइन" (Lotto Design) कहते हैं, और इन्‍हें खोजना आसान नहीं होता है। 1998 में, ज़ोल्टन फ्यूरीडी (Zoltán Füredi) और उनके सहयोगियों ने साबित कर दिया कि हंगेरियन लॉटरी (Hungarian lottery) के लिए- जिसमें खिलाड़ियों को 90 में से 5 नंबर चुनने होते हैं, में 2 नंबर से मिलान करने के लिए न्यूनतम 100 टिकट खरीदने होंगे। कनाडाई (Canadians) 6/49 लॉटरी के लिए, जहाँ आपको संभावित 49 में से 6 नंबर चुनना है, यह दिखाया गया है कि आपको 2 मिलान संख्याएँ प्राप्त करने के लिए न्यूनतम 19 टिकट खरीदने की आवश्यकता है।

कुछ मामलों में, सबसे अच्छा लोट्टो डिज़ाइन अज्ञात रहता है। 6/49 लॉटरी के लिए, 3 नंबर के मिलान की गारंटी के लिए आवश्यक टिकटों की सबसे छोटी संख्या एक खुली समस्या है। लॉटरी शोधकर्ता पीटर रोसेन्डहल (Peter Rosendahl ) ने मूल्य के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान की, जब उन्होंने संख्यात्मक रूप से 163 टिकटों का एक संयोजन बनाया जो कारगर रहा, लेकिन टिकटों की सही न्यूनतम संख्या इससे कम हो सकती है।
कई टिकटों पर विचार करने के साथ-साथ, हमें कई खिलाड़ियों का भी हिसाब लगाना होगा। जब एक लॉटरी में रोल-डाउन दिखाई देते हैं, तो एक गेम का अपेक्षित मूल्य बढ़ जाता है, लेकिन ऐसा जैकपॉट को दूसरों के साथ विभाजित करने का मौका देता है। एक विकल्प मनोविज्ञान की ओर मुड़ना है, और लोकप्रिय संख्याओं से बचने की कोशिश करें - जैसे कि जन्मदिन - जो आपकी जीत को कम कर देगा यदि आप जीत गए। एबीसी न्यूज के अनुसार, यूएस पावरबॉल (US Powerball) (अमेरिकी लॉटरी का खेल (American lottery game)) 2016 में 1।586 बिलियन डॉलर पर पहुंच गया था।

संदर्भ:
https://bit.ly/3d8yXho
https://bit.ly/3sl68oH
https://bit.ly/2Qrw1Vx

चित्र संदर्भ:
मुख्य तस्वीर में लॉटरी टिकट बेचने वाले एक व्यक्ति को दिखाया गया है। (ओरेकल ग्लोब)
दूसरी तस्वीर में एक परिवार को दिखाया गया है जिसने लॉटरी जीती। (loto.in)
आखिरी तस्वीर में लोगों को लॉटरी टिकट खरीदते दिखाया गया है। (यूट्यूब)


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