शून्य और दशमलव के अलावा बीजगणित के विकास में भी भारतीय गणितज्ञों का अहम् योगदान रहा है

क्या आप भी आठवीं या नौवीं कक्षा में पहली बार में अंकों पर आधारित गणित जैसे विषय में भी a, b, c, या a² + b² = (a +b)² + 2ab जैसे अंग्रेजी वर्णों का प्रयोग देखकर कई अन्य लोगों की भांति आश्चर्यचकित हुए थे। वास्तव में, यह गणित की वह अति महत्वपूर्ण शाखा है, जिसे बीजगणित के नाम से जाना है। हमारे महान भारतीय गणितज्ञों का इस शाखा के विकास एवं विस्तार में बेहद महत्वपूर्ण योगदान रहा है। बीजगणित गणित की एक शाखा है जो समीकरणों और चरों के अध्ययन से संबंधित है। माना जाता है कि इसकी उत्पत्ति प्राचीन मेसोपोटामिया (Ancient Mesopotamia) क्षेत्र में हुई है, जहां लगभग 3800 साल पहले द्विघात समीकरणों (Quadratic Equations) का सिद्धांत विकसित किया गया था। “बीजगणित" मूल रूप से अरबी शब्द ‘अल-जबर’ ( الجبر ,al-jabr) से आया है, जो फ़ारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख़्वारिज़्मी (Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi) द्वारा 830 में लिखे गए एक ग्रंथ जिसे "किताब अल-मुत्तसर फी हिसाब अल-गबर वा-एल-मुकाबला (Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala)" कहा जाता है, से लिया गया है। गणित की इस अति विशिष्ट शाखा ने रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान की। हालांकि, अल-जबर और मुक़ाबला शब्दों का सटीक अर्थ अनिश्चित होता है, लेकिन उन्हें “पुनर्स्थापना" या “पूर्णता" (अल-जबर) और "कमी" या "संतुलन" (मुकाबला) का उल्लेख करने के लिए जाना जाता है। स्पेन (Spain) में अरबी गणित का प्रभाव अभी भी देखा जा सकता है, जहां "अलजेब्रिस्टा (Algebrista)" शब्द का प्रयोग किसी ऐसे व्यक्ति को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो कुछ पुनर्स्थापित करता है या ठीक करता है। अल-ख्वारिज्मी ने इन शब्दों का इस्तेमाल उन कार्यों का वर्णन करने के लिए किया जो उन्होंने अपने ग्रंथ में पेश किए थे।
अपने पूरे इतिहास में, बीजगणित अपने विकास में तीन मुख्य चरणों से गुजरा है।
१.पहला चरण, आलंकारिक बीजगणित (Figurative Algebra) में समीकरणों को पूर्ण वाक्यों में लिखा जाता था। आलंकारिक बीजगणित पहली बार प्राचीन बेबीलोनियों द्वारा विकसित किया गया था और 16 वीं शताब्दी तक इसका उपयोग किया जाता था।
२.दूसरा चरण, समन्वित बीजगणित (Coordinate Algebra) वह है जिसमें प्रतीकवाद का उपयोग तो किया जाता था,लेकिन प्रतीकात्मक बीजगणित की सभी विशेषताओं का नहीं। यह अवस्था तीसरी शताब्दी ईस्वी में प्रकट हुई और 7वीं शताब्दी तक जारी रही।
३.तीसरा चरण, प्रतीकात्मक बीजगणित (Symbolic Algebra) में पूर्ण प्रतीकवाद का उपयोग किया जाता है और यह 16 वीं शताब्दी में फ्रांसुआ विएते( François Viète ) द्वारा विकसित किया गया था। बाद में, रेने डेसकार्टेस (René Descartes) ने 17 वीं शताब्दी में आधुनिक संकेतन (Modern Notation) पेश किया और दिखाया कि ज्यामिति को बीजगणित के माध्यम से व्यक्त और हल किया जा सकता है। चर्चाओं और समन्वित चरणों के बीच, ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों द्वारा एक ज्यामितीय रचनात्मक बीजगणित भी विकसित किया गया था। इन चरणों के अलावा, बीजगणित के विकास में चार वैचारिक चरण (ज्यामितीय चरण, स्थिर समीकरण-समाधान चरण, गतिशील कार्य चरण और अमूर्त चरण) भी सम्मिलित हैं।
जैसा कि हम जान चुके हैं कि “बीजगणित" शब्द स्वयं अरबी मूल का शब्द है, जो 9वीं शताब्दी में अल-ख्वारिज्मी द्वारा लिखित द्विघात समीकरणों को हल करने पर एक लघु ग्रंथ के शीर्षक से लिया गया है। लेकिन बाद में इस का लैटिन में अनुवाद किया गया, जो मध्य युग के दौरान यूरोप में लोकप्रिय हो गया। बीजगणित के इस प्रारंभिक रूप ने यूनानियों और हिंदुओं को बहुत प्रभावित किया। भारतीय अंकगणित पर उनके काम की लोकप्रियता के कारण अल-ख्वारिज्मी का नाम आज "एल्गोरिदम (Algorithms)" शब्द के रूप में भी याद किया जाता है। मध्य युग के दौरान, बीजगणित का मुख्य रूप से डिग्री छह या उससे कम के बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता था। साल 1515 बीजगणित के विकास में एक प्रमुख मील का पत्थर साबित हुआ, जब इटली में बोलोग्ना (Bologna, Italy) के एक गणितज्ञ स्किपियोन डेल फेरो (Scipione del Ferro) ने घन समीकरण को बीजगणितीय रूप से हल किया। इसके बाद लोदोविको फेरारी (Lodovico Ferrari) ने 1540 में क्वार्टिक समीकरण (Quartic Equations) के समाधान की खोज की। 16वीं शताब्दी से पहले, बीजगणितियों ने प्रतीकात्मक और समीकरण-आधारित अंकन, जिसे आज हम जानते हैं, का उपयोग नहीं किया था । इसके स्थान पर उन्होंने वर्णनात्मक वाक्यों का प्रयोग किया। प्रतीकों और समीकरणों का उपयोग करते हुए "बीजगणितीय" संकेतन की शुरुआत 1591 में फ्रांसुआ विएते (Francois Viete) के ग्रंथ “आर्टेम एनालिटिकम इसागोगे (Artem Analyticum Isagoge)” के साथ हुई। 1830 में बीजगणित पर जॉर्ज पीकॉक (George Peacock) के ग्रंथ के प्रकाशन के साथ आधुनिक बीजगणित शुरू हुआ। अगले सौ वर्षों के भीतर, बीजगणित गणितीय संरचनाओं का एक सिद्धांत बन गया, जिसमें बीजगणित का विकास और बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, छल्लों और क्षेत्रों का अध्ययन शामिल था। तब से बीजगणित ने गणित के कई क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है, तथा कंप्यूटर विज्ञान, अभियांत्रिकी और भौतिकी जैसे क्षेत्रों में इसके कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह बेहद अहम् मानी जाती हैं।
बीजगणित के विकास में भारतीय गणितज्ञों ने अहम भूमिका सर्वविदित है। भारतीय गणितज्ञ सदियों से संख्या प्रणालियों का अध्ययन कर रहे हैं। सबसे पहले ज्ञात भारतीय गणितीय दस्तावेजों में से कुछ लगभग छठी शताब्दी ईसा पूर्व के भी हैं। भारतीय गणितज्ञों के अध्ययन के मुख्य विषयों में रेखीय और द्विघात समीकरण, सरल माप और पाइथागोरस के त्रिक (Pythagorean Triads) शामिल हैं। आर्यभट्ट एक उल्लेखनीय भारतीय गणितज्ञ थे, जिन्होंने 5वीं शताब्दी में ‘आर्यभटीय’ लिखा था। इस कार्य में उन्होंने संख्याओं के वर्गों और घनों के योग की गणना के लिए नियम प्रदान किए। एक अन्य प्रभावशाली गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 7वीं शताब्दी में ‘ब्रह्मस्फुट सिद्धांत’ (Brahmanical Theory) लिखा था। इस कार्य में, उन्होंने सामान्य द्विघात समीकरण को हल किया और पाइथागोरस के त्रिक दिए, जो तीन पूर्णांकों के समुच्चय हैं और जिनका उपयोग एक समकोण त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। भास्कर द्वितीय 12वीं शताब्दी के प्रमुख गणितज्ञ थे, जिन्होंने ‘लीलावती’ और ‘विजा-गणिता’ नामक पुस्तकें लिखी, जिसमें रेखीय और द्विघात समीकरणों और पायथागॉरियन त्रिक से संबंधित समस्याएं हैं। उन्होंने पेल के समीकरण (Pell's Equation) का एक समाधान भी प्रदान किया, जो एक प्रकार का गणितीय समीकरण है जिसका उपयोग पूर्णांक समाधान खोजने के लिए किया जाता है। भास्कर II ने अपने कार्य में अज्ञात चरों के लिए प्रतीकों का उपयोग किया, ठीक उसी तरह जैसे आज हम अक्षरों का उपयोग करते हैं।
इसी क्रम में श्रीधराचार्य (जन्म : ७५० ई) भी प्राचीन भारत के एक महान गणितज्ञ थे। इन्होंने शून्य की व्याख्या की तथा द्विघात समीकरण को हल करने सम्बन्धी सूत्र का प्रतिपादन किया। हालांकि उनके बारे में बहुत अल्प जानकारी ही उपलब्ध है। भास्कराचार्य ने बीजगणित के अंत में - ब्रह्मगुप्त, श्रीधर और पद्मनाभ के बीजगणित को विस्तृत और व्यापक कहा है - :'ब्रह्माह्नयश्रीधरपद्मनाभबीजानि यस्मादतिविस्तृतानि'।
इससे प्रतीत होता है कि श्रीधर ने बीजगणित पर भी एक वृहद् ग्रन्थ की रचना की थी जो अब उपलब्ध नहीं है। भास्कराचार्य ने ही अपने बीजगणित में वर्ग समीकरणों के हल के लिए श्रीधर के नियम को उद्धृत किया है -
चतुराहतवर्गसमै रुपैः पक्षद्वयं गुणयेत।
अव्यक्तवर्गरुयैर्युक्तौ पक्षौ ततो मूलम्‌ ॥ अन्य उल्लेखनीय भारतीय गणितज्ञों में महावीर, जिन्होंने 9वीं शताब्दी में ‘गणित-सार-संग्रह’ लिखा था, और संगमग्राम के माधव, जो 14वीं शताब्दी में रहते थे, भी शामिल हैं । महावीर का कार्य बीजगणितीय समीकरणों और ज्यामितीय समस्याओं पर केंद्रित था, जबकि माधव का कार्य अनंत श्रृंखला और त्रिकोणमिति पर केंद्रित था। अगर हम संक्षेप में समझें तो कुल मिलाकर, भारतीय गणितज्ञों ने संख्या प्रणालियों और संबंधित विषयों के अध्ययन में महत्वपूर्ण योगदान दिया। उन्होंने समीकरणों को हल करने की तकनीक विकसित की और उन समस्याओं का समाधान प्रदान किया जो आज भी उपयोग की जाती हैं। उनके काम का गणित के क्षेत्र पर स्थायी प्रभाव पड़ा है और इसने दुनिया भर में गणितीय अवधारणाओं के विकास को प्रभावित किया है।

संदर्भ
https://bit.ly/3PSLclz
https://bit.ly/3PL8RUL
https://bit.ly/3jjsZ4o

चित्र संदर्भ
1. आर्यभट्ट एवं बीजगणित के एक सूत्र को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
2. प्लिम्प्टन 322 एक बेबीलोनियन मिट्टी की गोली है, जो बेबीलोनियन गणित के उदाहरण के रूप में उल्लेखनीय है। को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
3. किताब तनकिह अल-मनजीर कमल अल-दीन अल-हसन इब्न अली इब्न अल-हसन अल-फरीसी द्वारा ऑटोग्राफ (1267-1318) दिनांक: रमजान 708 (फरवरी-मार्च 1309) को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
4. बीजगणितीय समीकरण अंकन को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
5. बीजगणितीय समीकारणों को दर्शाता एक चित्रण (flickr)
6. BdG समीकरण के फैलाव संबंध को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
7. प्रभावशाली गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)
8. भास्कर के पाइथागोरस प्रमेय प्रमाण को दर्शाता एक चित्रण (wikimedia)