किसी डेटा समूह की एक सममित व्यवस्था है बेल कर्व या सामान्य वितरण

सांख्यिकी में एक शब्द जो अक्सर सुनाई देता है, वह है बेल कर्व (Bell curve) या सामान्य वितरण या प्रसामान्य बंटन। वर्तमान समय में इसका उपयोग विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, विभिन्न प्रकार के डेटा के विश्लेषण,सांख्यिकी आदि में व्यापक रूप से किया जा रहा है।प्रसामान्य बंटन एक सांख्यिकी अवधारणा है, जिसका नाम बेल कर्व इसलिए रखा गया, क्यों कि जब इसे एक ग्राफ के रूप में निरूपित किया जाता है, तो एक बेल या घंटी के आकार जैसी संरचना सामने आती है।
इस वक्र का सबसे ऊंचा बिंदु सबसे संभावित घटना को दर्शाता है। जबकि वक्र के मध्य भाग के दोनों ओर संभावित घटनाएं समान रूप से वितरित होती हैं। मध्य बिंदु से जैसे-जैसे कोई दूर जाता है,किसी घटना के होने की संभावना तेजी से कम होने लगती है।इस वक्र को सामान्य / गाऊसी वितरण (Gaussian Distribution) भी कहा जाता है, जिसमें दो बुनियादी शब्द माध्य और मानक विचलन अवश्य शामिल होते हैं। इस प्रकार यह डेटा समूह की एक सममित व्यवस्था है जिसमें अधिकांश मान माध्य में समूहित होते हैं, तथा बाकि मान सममित रूप से वक्र के दोनों किनारों पर वितरित होते हैं।
सामान्य वितरण,‘केंद्रीय सीमा सिद्धांत’ का अनुसरण करता है, जिसमें कहा गया है कि विभिन्न स्वतंत्र कारक एक विशेष गुण या लक्षण को प्रभावित करते हैं।जब ये सभी स्वतंत्र कारक किसी घटना में अपना योगदान देते हैं, तो उनका सामान्यीकृत योग एक गाऊसी वितरण में परिणत होता है।वितरण का माध्य ग्राफ के केंद्र की स्थिति निर्धारित करता है,और मानक विचलन ग्राफ की ऊंचाई और चौड़ाई निर्धारित करता है।इसके अलावा मानक विचलन सामान्य वक्र के तहत उस कुल क्षेत्रफल को भी निर्धारित करता है, जो 1 के बराबर है।
सामान्य वितरण के दैनिक जीवन के उदाहरणों को समझें तो इसमें किसी जनसंख्या की ऊँचाई,पासे का लुढ़कना,सिक्के का उछलना,बुद्धिलब्धि,तकनीकी शेयर बाजार, अर्थव्यवस्था में आय वितरण, जूते का आकार, जन्म वजन, छात्र की औसत रिपोर्ट आदि शामिल है। आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:
किसी जनसंख्या की ऊँचाई सामान्य वितरण का सबसे सरल उदाहरण है।
एक विशिष्ट आबादी में अधिकांश लोग औसत ऊंचाई के होते हैं।औसत ऊंचाई वाले लोगों की तुलना में लम्बे और छोटे कद वाले लोगों की संख्या लगभग बराबर होती है।और बहुत कम संख्या में लोग या तो बहुत लंबे होते हैं या बहुत छोटे। ऐसे लोगों की संख्या बहुत कम ही होती है, जिनका कद बहुत लंबा या छोटा होता है।
किसी पासे का उचित रूप से लुढ़कना भी सामान्य वितरण का एक अच्छा उदाहरण है।एक प्रयोग में, यह पाया गया है कि जब एक पासे को 100 बार उछाला जाता है, तो'1' प्राप्त करने की संभावना 15-18% होती है।और यदि हम पासे को 1000 बार उछालते हैं, तो '1' प्राप्त करने की संभावना फिर से वही होती है, जिसका औसत 16.7% (1/6) होता है।यदि हम दो पासे एक साथ उछालते हैं, तो 36 संभावित संयोजन प्राप्त होते हैं।'1' (छह संभावित संयोजनों के साथ) को प्राप्त करने की संभावना फिर से औसतन लगभग 16.7%, यानी (6/36) होती है। पांसों की संख्या जितनी अधिक होगी,सामान्य वितरण ग्राफ उतना अधिक विस्तृत होगा। इसी प्रकार किसी सिक्के को उछालने के बाद भी परिणाम कुछ भी प्राप्त हो सकता है।चित आने की संभावना 1/2 होती है, तथा पट आने की संभावना भी यही होती है।जब हम दोनों को जोड़ते हैं, तो यह एक के बराबर होता है।
यदि हम सिक्कों को कई बार उछालते हैं, तो चित और पट आने की प्रायिकता का योग हमेशा 1 ही रहेगा।
कई पाठ्यपुस्तकें इसे गाऊसी वक्र के रूप में संदर्भित करती हैं, तथा बतलाती हैं कि 19वीं सदी के महान जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Karl Friedrich Gauss) ने यादृच्छिक त्रुटियों से डेटा कैसे प्रभावित होते हैं, इस बात का अध्ययन करते हुए वक्र के आकार का निष्कर्ष निकाला।लेकिन इब्राहीम डी मोइवर (Abraham de Moivre) नाम के एक फ्रांसीसी गणित शिक्षक ने दशकों पहले ही इस वक्र के बारे में तब बता दिया था, जब वे एक ऐसी समस्या को सुलझाने का प्रयास कर रहे थे, जिसका हल वर्षों से गणितज्ञ निकाल नहीं पाए थे। यह समस्या थी कि ‘कई सिक्के उछालने के दौरान चित या पट आने की आवृत्ति की गणना कैसे की जाए’। बेल कर्व का उपयोग किसी संगठन के कर्मचारियों के प्रदर्शन के लिए भी किया जा सकता है, जिसका मतलब है, कि कर्मचारियों का एक बड़ा हिस्सा मध्य-बिंदु या औसत स्तर पर या उसके आसपास प्रदर्शन करता है, तथा प्रदर्शन स्पेक्ट्रम के दोनों सिरों पर कर्मचारियों की एक छोटी संख्या होती है। या तो वह उत्कृष्ट प्रदर्शन करती होगी या फिर खराब। लेकिन कई संगठनों के लिए बेल कर्व,'L' कर्व बनता जा रहा है।इस परिवर्तन के कुछ कारण बताए गए हैं, जिसमें सबसे मुख्य कारण यह है, कि प्रदर्शन में सामान्य / गाऊसी वितरण के बजाय पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन (Power law distribution) को प्राथमिकता दी जा रही है।
बेल कर्व के कई लाभ हैं, जैसे बेल कर्व ग्रेडिंग के माध्यम से शीर्ष प्रदर्शन करने वालों की पहचान की जा सकती है।प्रबंधक पूर्वाग्रह को समाप्त किया जा सकता है,नौकरी की स्थिति में कर्मचारियों की उपयुक्तता की पहचान की जा सकती है।प्रशिक्षण आवश्यकताओं को प्रबंधित किया जा सकता है आदि। हालांकि विभिन्न लाभों के साथ-साथ बेल कर्व की कुछ सीमाएं भी हैं, जैसे कर्मचारियों को रेटिंग देने के लिए प्रदर्शन प्रबंधन में बेल कर्व मॉडल का उपयोग करना एक कठोर दृष्टिकोण माना जा सकता है। बेल कर्व मूल्यांकन उन कर्मचारियों के मन में चिंता पैदा करता है जो कठिन नौकरी बाजार स्थितियों के दौरान स्वयं की निकासी की संभावना के बारे में चिंता कर सकते हैं। इससे नौकरी के प्रदर्शन में और गिरावट आ सकती है।बेल कर्व के जरिए प्रदर्शन की समीक्षा छोटी कंपनियों,जहां कर्मचारियों की संख्या 150 से कम है, के लिए नहीं की जा सकती है। कम कर्मचारियों के साथ, वर्गीकरण ठीक से नहीं किया जा सकता है, और परिणाम अक्सर गलत साबित होते हैं।

संदर्भ:
https://bit.ly/39EKunq
https://bit.ly/3AJtMzg
https://bit.ly/39DXARX
https://bit.ly/3EWdaGT

चित्र संदर्भ
1. बेल कर्व अवधारणा को दर्शाता एक चित्रण (study)
2. बेल कर्व ग्राफ का एक चित्रण (adobestock)
3.किसी पासे का उचित रूप से लुढ़कना भी सामान्य वितरण का एक अच्छा उदाहरण है, जिसको संदर्भित करता एक चित्रण (adobestock)
4. बेल कर्व का उपयोग किसी संगठन के कर्मचारियों के प्रदर्शन के लिए भी किया जा सकता है, जिसको दर्शाता एक चित्रण (StudiousGuy)